Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 96 dan jumlah semua sukunya yang berindeks ganjil adalah 64, suku ke-4 deret tersebut adalah…
- 4
- 6
- 8
- 10
- 12
(Soal SPMB 2004)
Pembahasan:
Ingat bahwa bentuk umum deret geometri dengan suku pertama \(a\) dan rasio \(r\) yaitu: \( a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots \). Jika dibagi menjadi dua bagian yaitu deret geometri dengan suku ganjil dan deret geometri dengan suku genap, maka diperoleh:
\begin{aligned} \text{Deret Geometri suku ganjil} &: a+ar^2+ar^4+\cdots \\[8pt] \text{suku pertama}= a \ &\text{dan} \ \text{rasio} \ (r) = r^2 \\[8pt] S_\infty \ (\text{ganjil}) &= \frac{a}{1-r^2}; \\[8pt] \text{Deret Geometri suku genap} &: ar+ar^3+ar^5+\cdots \\[8pt] \text{suku pertama}= ar \ &\text{dan} \ \text{rasio} \ (r) = r^2 \\[8pt] S_\infty \ (\text{genap}) &= \frac{ar}{1-r^2}; \\[8pt] \end{aligned}
Pada soal diketahui bahwa jumlah semua sukunya adalah 96 sehingga:
\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} &\Leftrightarrow 96 = \frac{a}{1-r} \\[8pt] &\Leftrightarrow a = 96(1-r) \end{aligned}
Karena diketahui jumlah semua suku yang berindeks ganjil adalah 64, maka diperoleh:
\begin{aligned} S_\infty \ (\text{ganjil}) &= \frac{a}{1-r^2} \\[8pt] 64 &= \left( \frac{a}{1-r} \right)\left( \frac{1}{1+r} \right) \\[8pt] 64 &= 96 \left( \frac{1}{1+r} \right) \Leftrightarrow 2 = 3 \left( \frac{1}{1+r} \right) \\[8pt] 2(1+r) &= 3 \Leftrightarrow 2+2r=3 \\[8pt] 2r &= 1 \Leftrightarrow r = \frac{1}{2} \\[8pt] a &= 96(1-r) \Leftrightarrow a = 96 \left(1-\frac{1}{2} \right) \\[8pt] a &= 96 \cdot \frac{1}{2} = 48 \end{aligned}
Dengan demikian, suku ke-4 deret tersebut yaitu:
\begin{aligned} U_n &= ar^3 = 48 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \\[8pt] &= 48 \cdot \frac{1}{8} = 6 \end{aligned}
Jawaban B.